绝学回响｜九韶著“九章”：中国数学现代化进程的起点

　　中国古典数学作为基础科学研究的一部分，取得了伟大的历史成就。学界普遍认为，13世纪是传统算学发展的高峰时期，涌现出了一批重要的学者与著作。今天推送的三篇文章分别对宋代著名数学家秦九韶的生平与成就、《数书九章》版本的流传与演变以及宋元数学研究在后世的复兴、交流与互鉴作出概述，以期对读者了解13世纪以来的中国数学有所助益。

　　13世纪是中国传统筹算数学发展的顶峰，在列方程、解方程、数学文本化和符号化方面均取得了划时代的成就。在诸多璀璨的算学明星之中，秦九韶无疑是十分突出的一位，秦氏著作《数书九章》也被学界公认为在中国数学史上可以与《九章算术》相媲美的名篇。

　　秦九韶，字道古，宋代四川人。嘉定元年（1208）三月出生于普州（今四川安岳），咸淳四年（1268）三月卒于广东梅州。按秦氏《数书九章》自序云：“早岁侍亲中都，因得访习于太史，又尝从隐君子受数学。”九韶的父亲秦季槱是宋朝官员，一度在京城为官，九韶陪伴左右，得以向太史学习。古之太史不仅记人事，更需通历法。秦氏《数书九章》记载中最重要的数学成就——大衍总数术（即今所谓“中国剩余定理”）实来自于太史。按钱宝琮先生（1892—1974）的研究，自汉代起中国的历算家求解上元（即历法之起点），就需要求解同余方程组。李继闵先生（1938—1993）通过研究指出，历算家求解上元用的是大衍总数术之核心程序，即大衍求一术，而非总术。秦九韶自序又云：“独大衍法不载《九章》，未有能推之者，历家演法颇用之，以为方程者，误也。” 所谓方程，按今天的话说就是解线性方程组（载于《九章算术》），故此处秦氏指出历家误把大衍作方程。因此，学界一度相信秦之所云，把方程与大衍区分开来。笔者近年来根据原始文献重新审视方程发现，《九章算术》方程确实可以用来求解上元，因此历家所云不误。秦氏为了凸显其个人贡献，改进历家方程之后，将其改名为大衍。这一做法实际打破了上元算法仅在师徒间传授、用而不书的潜规则。

　　所谓大衍，其名实际来自《周易》筮法“大衍之数五十，其用四十有九”。按秦九韶自序云：“圣有大衍，微寓于《易》。”《数书九章》第一问“蓍卦发微”即以大衍总数术解《周易》大衍筮法。秦氏主要生活于宋理宗时代，其时道学盛行，秦氏亦受此风气影响，欲以算学攀附易学。总之，秦氏从太史处习得历家之方程，并将之改进；又为了附会《周易》，改名为大衍，更进一步以算筹当蓍草，以大衍注解《周易》。秦氏天分极高，其“蓍卦发微”问设计极为巧妙（大衍总数术为此问之答案之一），但仍漏出了编造之印记（即所谓一一数之得数若干，答数既得，之后又何必求之）。故清四库馆臣直云：“（秦九韶）欲以新术改《周易》揲蓍之法，殊乖古义。”

　　秦九韶的目的就是把算学“进之于道”。按秦氏自序云：“际时狄患，历岁遥塞，不自意全于矢石间，尝险罹忧，荏苒十禩。心槁气落，信知夫物莫不有数也。乃肆意其间，旁诹方能，探索杳渺，粗若有得焉。” 按严敦杰先生（1917—1988）的考证，宋理宗端平二年（1235）蒙古人攻蜀，“狄患”即指此。由端平二年至淳祐七年的十余年间，秦氏有几项低阶官位的任职，遂“心槁气落”，但这也是其积累数学知识的重要时期。淳祐四年（1244），朝廷征召民间人士改历；同年，秦母去世，九韶丁母忧回湖州守孝。在此期间，秦氏“积多而惜其弃，因取八十一题，厘为九类，立术具草，间以图发之”，由此在淳祐七年完成了《数书九章》。该书完成后第二年，宋廷再次征召民间人士改历，九韶“以历学荐于朝，得对，有奏稿及所述《数学大略》”（宋周密语）。因此，很可能秦氏将《数书九章》中与天文历算有关的部分（即前两类“大衍”与“天时”）作为奏稿进之于朝廷。遗憾的是，从《宋史·律历志》对开禧历（秦氏之所学实为开禧历）之后的记载中很难看出秦九韶的影响。不过秦氏甚会推广，时人藏书家陈振孙曾与其有当面交流，对之历法水平甚为赞服，云“秦博学多能，尤遂历法。凡近世诸历，皆传于秦。所言得失，亦悉著其语云”。

　　秦九韶完成《数书九章》之时，“立术具草，间以图发之”，未曾预料到这实为其在数学上最大之成就。秦氏先以筹码表达数字，进而在算图中以线条连接数字表达运算。笔者按秦书赵钞本算图之中726根连线根连线用以表达加减乘除运算，而其中超过90%有统一的书写规则，即单波浪线连接两数之首尾，表乘法；单虚线连接两数的首尾，表除法；双实线连接两数的尾尾，表加法；单实线连接两数的尾尾，表减法。由此，秦氏实际建立起中国数学的一套加减乘除符号。从世界数学史的角度来看，数学的符号化和文本化是古代数学通向现代数学的必经之路（如西方在文艺复兴时期完成了符号化进程），因此秦氏所为，实际开启了中国数学向现代数学转变的伟大历程。

　　与秦九韶同时代的刘克庄（1187—1269）《缴秦九韶知临江军奏状》云秦氏“暴如虎狼，毒如蛇蝎”，又云“其人不孝不义不仁不廉”，稍晚的周密谓之 “喜奢好大，嗜进谋身”。这些对秦氏人品负面的评价一直流传至今，故学术界一直认为，对秦氏要把学问和人品分开来看。近年来，郭书春先生多次撰文，认为刘克庄、周密与秦九韶实际是政敌，其言论不足为信；继而以秦氏《数书九章》自序的九段系文为证，说明秦氏实际上是爱国爱民、主张施行仁政的算学家。但是，既然刘、周之言论不可信，那秦氏自论又何以可信？钱宝琮认为刘克庄所论“都有事实可举，并不是空言诬蔑”，笔者认为此说较为公允。实际上，秦氏生平事迹与数学成就无关的部分并不是学界关注的重点，而从其改方程为大衍、以方程解《周易》，又以之进于朝廷来看，确实可谓“喜奢好大，嗜进谋身”。秦氏超强的进取心用在科学研究上，固然是好的，但将之用于其他方面，引起非议亦恐难避免。因此，笔者认为，对秦氏人品好坏的讨论应转变为对其性格特征的刻画，方是这一议题今后讨论之应有方向。

　　秦九韶《数书九章》（又名《数学九章》），南宋淳祐七年（1247）成书，是中国历史上最重要的数学著作之一。该书问世后六百年间流传甚罕，几乎湮没。乾隆年间编撰《四库全书》，自《永乐大典》中辑出《数学九章》（1784）。是后此书流传渐广，钱大昕、李锐、顾广圻等名家均有关注，或考证作者，或探索古算。道光年间，《数书九章》首次刊印（1842），其中杰出的数学成就不久即受到西方学者注意。20世纪以来，《数书九章》已属于中国数学史研究的核心史料。秦九韶著作的曲折经历，可谓13世纪宋元数学精华隐而复显的缩影。

　　《数书九章》原名《数术》（据《直斋书录解题》）。秦九韶将数术分为内算与外算两部分，内算包括《周易》卜筮与历法计算，外算涵盖以《九章算术》为代表的传统算学。秦九韶最重要的数学成就——大衍总数术（即所谓“中国剩余定理”）用于求解历法之上元积年。然而秦书问世33年后，元至正十七年（1280），郭守敬完成《授时历》，废除上元积年。由此元明清三代历法均不涉及上元问题，大衍总数术随之失去了历法计算方面的实用功能。

　　明初纂修《永乐大典》将秦书分条抄入，所据底本当为明文渊阁藏抄本，系南宋或元代抄本，题作《数学九章》。是后二百年间，秦书在民间未闻流传。万历末年，山阴王应遴在北京借抄文渊阁藏本。万历四十四年（1616），藏书家赵琦美又自王应遴抄本录副，是为秦书赵抄本，题作《数书九章》，今藏中国国家图书馆。明文渊阁旧藏抄本、王应遴抄本均已失传。传世《永乐大典》内，秦书仅存三题。四库本系清代辑本，且改动较多。赵琦美抄本首尾完整，最为接近秦书原貌。赵抄本显著的特别之处在于算图内附连线，表达筹算运算过程。《永乐大典》残存秦书条目即有连线摄像头，可证连线必为明文渊阁藏抄本旧迹。

　　乾隆年间编纂《四库全书》，戴震、陈际新等从《永乐大典》中辑出《数学九章》，书前提要谓“于其误者正之，疏者辨之，颠倒者次第之，各加案语于下”。实际往往径改，不加说明。各题次序又系重编，与原书多有出入。例如，根据赵琦美抄本，秦书所载大衍总数术原属第一题“蓍卦发微”答案的一部分，用以阐发秦氏所谓“圣有大衍，微寓于《易》”。四库馆臣从数学知识普遍性的角度，设想该法应该总领大衍类九问，遂将大衍总数术置于第一卷卷首，实际破坏了“蓍卦发微”的结构。又如，大衍总数术中求定数方法，秦书有“约奇弗约偶”一语，实为秦氏四种元数约化方法之一，奇偶即指单双。四库馆臣按语认为该奇偶绝非元数之单双，以至后世学者不取奇偶本意。此外，清代中叶，算筹久已为算盘取代。四库馆臣恐怕并不了解秦书算图及连线的筹算意义，乃随意改动算图，删除连线。学界长期对秦书数学符号化和文本化方面的贡献未予关注，当与四库本有关。

　　道光二十二年（1842），上海藏书家郁松年将《数书九章》收入《宜稼堂丛书》，秦书首次刊印出版。宜稼堂本虽号称以赵琦美抄本（实际当为赵抄本的录副本）为主要底本，然而很可能受到四库本系统影响，书中算图皆无连线年，旅居上海的英国人伟烈亚力（Alexander Wylie）发表英文札记，介绍秦九韶《数书九章》，将大衍总数术与印度库塔卡算法（Kuttaka method）相比较，引起欧洲学术界的兴趣。1874年，德国物理学家路德维希·马蒂森（Ludwig Matthiessen）参考伟烈亚力之文，证明大衍总数术等同于高斯（Carl Friedrich Gauss）方法。由此一些数学家认为秦氏方法早于欧洲同类算法数百年，“大衍总数术”也被冠名“中国剩余定理”。上述研究皆参照宜稼堂本，从现代数学角度解读秦氏算法，并未试图探索、理解秦书的算法实作过程。

　　20世纪前叶，李俨、钱宝琮等学者开创了现代意义上的中国数学史研究。宜稼堂本与大衍总数术长期是《数书九章》研究的主要参考版本与重点关注对象。20世纪80年代以来，数学家吴文俊等人的研究进一步刻画了秦九韶算法的构造性和机械化特色。近年有关赵琦美抄本与秦书算图连线的研究，开始探索《数书九章》数学文本化和符号化方面的特征，有助于深入理解秦九韶的数学实作，以及宋元之际数学的重要转变。

　　宋元数学研究的传统在明代一度中断，但在清代乾嘉以后却成学界的研究热点，其成果更被来华西人翻译并传播至欧洲。这个过程也折射出自明末西方传教士来华以降，在东西方文明直接碰撞的历史大背景下，中西数学文化交流与互鉴的重要一面。

　　明清之际，西方的天文学、数学通过《崇祯历书》（及其后续改订的《西洋新法历书》《新法算书》）、康熙“御定”的《数理精蕴》《历象考成》等大型著作的编纂，取得了朝廷的正统地位。当时恰逢欧洲文艺复兴，古典人文和科学著作的相关研究蔚然成风。西方传教士因利乘便，除引进托勒密、第谷等几何宇宙模型用以计算天文历法以外，还以中文翻译了《几何原本》前六卷等古希腊数学经典。因而传教士引入的西方数学是以几何为主，这一数学分支以公理化为特点，即从几个“不证自明”的公理出发，推导证明一系列的命题，形成一个完整的知识体系。

　　相比历史悠久的几何，代数是欧洲人从阿拉伯人那里学习到的，时间并不长，在康熙年间传入中国，收入《数理精蕴》，被称为“借根方”。即以假借根数、方数之意，相当于设未知数x和x的乘方。根据韩琦的研究，康熙帝晚年对传教士不再完全信任，倡导“自立”精神，努力摆脱后者对历算的把控。梅瑴成，“清朝算学第一”梅文鼎之孙，首先从词源上解释“借根方”的西名“阿尔热巴达”（即代数algebra的音译）为“东来法”，是宋元时期的“立天元一”法传播到西域之后又再次传回。

　　现在我们知道，algebra源于阿拉伯语al-jabr，意为还原，即还原方程中的未知数。因而梅瑴成的词源解释是一个误解，他只是根据明人偶尔提及的“立天元一”，从整体性质上推测出这是一种与“借根方”相类似的代数方法。“借根方”有没有受到“立天元一”的影响，须广泛考察、比较相关的中外文数学史料，至今还无法证明确有其事，但无论要证明抑或证伪，当时学者首先要解决获得可读可信的中文数学史料这一基础问题。因为经历了有明一代的沉寂，天算之学已成“绝学”，“立天元一”法具体是怎么样的一种算法，当时并没有人知晓。解决问题的转折在于《四库全书》的编纂，四库馆臣从《永乐大典》中辑出李冶的《测圆海镜》和《益古演段》，证实了“立天元一”的确是一种建立一元高次方程求解的算法——天元术。四库馆臣又辑出秦九韶的《数书九章》（又名《数学九章》，以下简称“秦书”），并将“误者正之，疏者辨之，颠倒者次序之，各加案语于下”，作出了初步校勘。

　　此外，远在江南的乾嘉学者，也得以从四库阁中抄出李、秦算书并加以比较研究，得到更深刻的结论。前有考据学大师钱大昕在《跋秦九韶数学九章》敏锐地指出秦书“有立天元一法，与李冶《测圆海镜》所衍立天元一法本不甚同”。后有著名校勘学家、目录学家顾广圻为扬州藏书家秦恩复覆算、校正其所藏赵琦美抄本的《数书九章》，准备刊刻出版。顾氏发现“其题问与术草不相应”，并认为秦九韶“大衍术非天元一法，未可以其有立天元一之语，遂以郭守敬及李冶所谓天元一者当之”，正确地指出了秦书所创大衍术虽然也有“立天元一”，但并不是李冶算书中的天元术。

　　顾广圻虽然对秦书作了校正，但不知何故最终未能出版。不过，《数书九章》在稍后的1842年出版了迄今为止唯一的刻本（参见图1），其出版过程显示出乾嘉学人师徒友朋之间前后相继为该书善本出版而作出的努力。上海巨富郁松年曾作序自述在刊刻《宜稼堂丛书》二种后，“益思得宋元人秘笈”，听说“《数书九章》思精学博，大衍求一、正负开方两术，尤为阐自古不传之秘”，但刊刻出版仍然要面对校正错漏的老问题。幸好之前李锐校勘过四库本，沈钦裴校勘过张敦仁家藏的赵琦美本，因而沈钦裴弟子宋景昌得以在沈、李遗稿的基础上作进一步的校勘。现在我们看到宜稼堂丛书本《数书九章》附有署名宋景昌的《札记》，成为该书不可或缺的重要组成部分，实际上集合了沈钦裴、李锐和宋景昌等算学家的校勘成果。

　　除秦书外，《宜稼堂丛书》还收入了南宋另一位数学家杨辉的著作六种，同样附有札记。杨辉书四库未收，阮元求访三十年而未得，只因偶然机会得见《永乐大典》中有载，抄录约百条；后来藏书家黄丕烈得到杨书散叶，与李锐一起排比整齐后，才得书六卷。朱世杰的《四元玉鉴》同样是阮元在浙江时访得；《算学启蒙》则是其弟子罗士琳从琉璃厂书肆中得到的朝鲜翻刻本。

　　秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰等人撰写的数学典籍，在经历数百年的沉寂之后重见天日，应当归功于乾嘉学者的发掘、整理和研究。除了乾嘉学派重视古典文献考据的传统以外，韩琦认为，西方数学特别是“借根方”的传入，既为乾嘉学者提供了知识准备，同时也因“自立”精神的提倡刺激了宋元数学的复兴。确实，乾嘉学者对这些宋元数学典籍的研究成果，展现了一个独特而领先于同时代西方的代数学知识体系。这些数学（史）知识，也成为下一阶段西方作中西数学比较互鉴时的重要素材。

　　在“借根方”传入中国的康熙时代，西欧的数学得到革命性的突破。源于古希腊的几何学传统和来自东方印度与阿拉伯人的代数学传统在欧洲碰撞交汇，合两者之长的解析几何、微积分等数学分支相继发展，成为近代科学革命的重要基础之一。正因为这一系列数学成就，19世纪的欧洲人颇为自负，就连印度—阿拉伯数码和十进位值记数法也成为“现代”的标志。曾任香港总督的德庇时（John F. Davis）就批评“中文的数字写得很长，不像阿拉伯数码体系，数字的次幂根据数位十倍十倍地增加或减小”。这是因为他彼时只看过一般的中文古书，而没有看到传统算书，并不知道从算筹数字演化而来的民间商用数码——跟印度—阿拉伯数码一样横写的苏州码子。

　　随着战争后五口通商，19世纪50年代来华的英国汉学家伟烈亚力（Alexander Wylie）通过向中国学者学习并与他们合作翻译外国数学著作，认识到前人对中国数学有着很深的误解。于是他用英文撰写了长篇论文《中国科学略记·算术》（“Jottings on the Science of the Chinese. Arithmetic”），加以纠正。该文在1852年的《北华捷报》（The North-China Herald）上共分9期连载：（1）绪论、数学在中国的起缘、7世纪前的算书；（2）7世纪到14世纪的算书；（3）数码与基本算术运算、《九章算术》（上）；（4）《九章算术》（下）；（5）秦九韶大衍术（上）；（6）大衍术（下）；（7）天元术、开方术；（8）四元术、借根方、19世纪初的古算复兴；（9）当时中国的数学研究、结语。其中，第（5）至第（8）共四期是宋元数学部分，占全文近一半的篇幅。通过中西比较，伟烈亚力发现秦九韶的开方术（参见图2），相当于欧洲的高次数值方程解法——霍纳法，认为“秦是我们发现的完整发展出解决复杂方程的第一人”。这一洞见，连同中国古代重要的数学典籍、数学家及其贡献，以及数学在当时中国的发展情况，一并向西方世界作出介绍。该文有很大的反响，很快被译成法、德等文字在欧洲学界广泛传播。

　　伟烈亚力之所以对中西数学比较互鉴这一课题感兴趣，除了当时中国学者以研习宋元数学为一时风尚外，还受到英国“剑桥代数学派”的影响。该学派出现于19世纪上半叶，旨在将莱布尼茨的微积分符号引入剑桥大学，并建立起一个独立于几何学的新的代数学观点。代表人物为第一代的巴贝奇（Charles Babbage）、皮考克（George Peacock）和第二代的德摩根（Augustus De Morgan）等。书写数学的历史是这一学派独特的学术实践之一，特别是皮考克和德摩根师徒二人。法国学者杜兰德-理查德（Marie-José Durand-Richard）曾对皮考克有深入研究，指出后者曾为《大都会百科全书》（Encyclopaedia Metropolitana）中撰写《算术》（Arithmetic）一文，当中详细描写比较了世界各个民族的算术—代数学史，并以此作为其学派主张——代数学是更为普适而根本的科学，而不仅仅是处理问题的巧妙手法——的主要论据。德摩根则为英国实用知识传播学会（Society for the Diffusion of Useful Knowledge）主编的《便士百科全书》（Penny Cyclopaedia），撰写了约850篇天文和数学词条，当中也颇多涉及数学史，伟烈亚力在《略记》中多有引用。

　　此外，伟烈亚力认为中国古代的算术及其所衍生出的代数学是一门科学，彰显了中国传统数学特别是算术—代数学方面的智慧和成就，可以引导中国人进一步学习。因此，他后来与李善兰一起翻译德摩根的Element of Algebra为《代数学》。此后，源于阿拉伯语的algebra就被译成“代数”。由此，我们可以看到一个有趣的数学知识环流：明清之际传入的西方代数学“借根方”刺激了乾嘉学者对宋元数学典籍的发掘，进而为伟烈亚力等西方学者对中西数学文化作比较、交流和互鉴提供了可能，同时促进了更深入的代数学、微积分等最新数学分支的引入。

　　本期文章系国家社科基金冷门绝学研究专项学术团队项目“《数书九章》校勘与研究”（21VJXG022）阶段性成果

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